📖 단원별 핵심 개념 정리
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I
다항식
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⭐ 곱셈 공식 — 필수 암기
\((a+b)^2 = a^2+2ab+b^2\)\((a-b)^2 = a^2-2ab+b^2\)
\((a+b)(a-b) = a^2-b^2\)
\((x+a)(x+b) = x^2+(a+b)x+ab\)
\((a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\)
\((a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\)
\(a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)\)
\(a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)\)
⭐ 인수분해 공식
\(a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2\)\(a^2-b^2 = (a+b)(a-b)\)
\(x^2+(a+b)x+ab = (x+a)(x+b)\)
\(acx^2+(ad+bc)x+bd = (ax+b)(cx+d)\)
\(a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)\)
✅ 암기 포인트
나머지 정리: \(f(x)\)를 \((x-a)\)로 나눈 나머지 \(= f(a)\)인수 정리: \(f(a)=0 \Leftrightarrow (x-a)\)가 \(f(x)\)의 인수
📝 예제
\(x^3-6x^2+11x-6\)을 인수분해하시오.\(f(1)=1-6+11-6=0\)이므로 \((x-1)\)이 인수
\(\Rightarrow (x-1)(x-2)(x-3)\)
\(\Rightarrow (x-1)(x-2)(x-3)\)
II
방정식과 부등식
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⭐ 판별식 D
\(ax^2+bx+c=0\)의 판별식 \(D=b^2-4ac\)\(D>0\): 서로 다른 두 실근
\(D=0\): 중근 (같은 두 실근)
\(D<0\): 서로 다른 두 허근 (실수 범위에서 해 없음)
⭐ 근과 계수의 관계
\(ax^2+bx+c=0\)의 두 근 \(\alpha, \beta\)에 대해\(\alpha+\beta = -\dfrac{b}{a}\), \quad \alpha\beta = \dfrac{c}{a}\)
\(\alpha^2+\beta^2 = (\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta\)
\(\alpha^3+\beta^3 = (\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta)\)
⭐ 이차부등식
\(\alpha < \beta\)일 때\((x-\alpha)(x-\beta)>0 \Rightarrow x<\alpha\) 또는 \(x>\beta\)
\((x-\alpha)(x-\beta)<0 \Rightarrow \alpha<x<\beta\)
\(|x|<a (a>0) \Rightarrow -a<x<a\)
\(|x|>a (a>0) \Rightarrow x<-a\) 또는 \(x>a\)
📝 예제
\(x^2-5x+6=0\)의 두 근의 합과 곱은?합 \(= 5\), 곱 \(= 6\) (실제 근: \(x=2\), \(x=3\))
III
도형의 방정식
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⭐ 핵심 공식 모음
두 점 거리: \(\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\)내분점 \((m:n)\): \(\left(\dfrac{mx_2+nx_1}{m+n},\, \dfrac{my_2+ny_1}{m+n}\right)\)
직선: \(y-y_1 = m(x-x_1)\)
점\((x_0,y_0)\)~직선\(ax+by+c=0\): \(\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
원: \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\) → 중심\((a,b)\), 반지름\(r\)
✅ 암기 포인트
평행: 기울기 같고 절편 다름수직: 기울기의 곱 \(= -1\)
원과 직선: 중심 거리 \(d<r\) 두 점 교차, \(d=r\) 접함, \(d>r\) 안 만남
📝 예제
점 \((2,1)\)에서 직선 \(4x-3y+5=0\)까지의 거리는?\(\dfrac{|8-3+5|}{\sqrt{16+9}} = \dfrac{10}{5} = 2\)
IV
집합과 명제
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⭐ 집합 연산
\(n(A\cup B) = n(A)+n(B)-n(A\cap B)\)드모르간: \((A\cup B)^c = A^c\cap B^c\)
드모르간: \((A\cap B)^c = A^c\cup B^c\)
차집합: \(A-B = A\cap B^c\)
⭐ 명제의 역·이·대우
명제 \(p \Rightarrow q\)의역: \(q \Rightarrow p\)
이: \(\sim p \Rightarrow \sim q\)
대우: \(\sim q \Rightarrow \sim p\)
원래 명제 ↔ 대우: 진리값 항상 동일
✅ 필요·충분조건
\(p \Rightarrow q\) 참: \(p\)는 \(q\)의 충분조건, \(q\)는 \(p\)의 필요조건\(p \Leftrightarrow q\) 참: 필요충분조건 (동치)
V
함수
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⭐ 함수의 종류
단사함수(일대일): 서로 다른 입력 → 서로 다른 출력전사함수: 공역 = 치역
전단사(일대일대응): 단사 + 전사 → 역함수 존재
⭐ 합성함수 · 역함수
\((g\circ f)(x) = g(f(x))\) — \(f\) 먼저, \(g\) 나중합성함수는 교환법칙 성립 안 함
\(f(a)=b \Leftrightarrow f^{-1}(b)=a\)
\(y=f(x)\)와 \(y=f^{-1}(x)\)는 \(y=x\)에 대해 대칭
📝 예제
\(f(x)=2x+1\)의 역함수는?\(y=2x+1 \Rightarrow x=\dfrac{y-1}{2} \Rightarrow f^{-1}(x)=\dfrac{x-1}{2}\)