01
Chapter One
제곱근과 실수
◆ 개념 정리
- a>0일 때, a의 제곱근은 +√a, −√a 두 개이며, (√a)² = a, (−√a)² = a이다.
- 근호 안의 수가 어떤 수의 제곱이어도 결과는 항상 0 또는 양수이다. 즉 √(a²) = |a| (음수면 양수로 바뀜에 주의!)
- 실수는 유리수와 무리수로 이루어지며, 무리수는 순환하지 않는 무한소수이다. 근호를 없앨 수 없는 수(완전제곱수가 아닌 수의 제곱근)는 대부분 무리수다.
- 두 실수의 대소비교는 차를 이용하거나, 제곱근의 경우 근호 안의 수끼리 비교한다 (단, 양수일 때).
★ 암기 포인트
(√a)² = a | (−√a)² = a | √(a²) = |a|
⚡ 시험 함정: "√(음수)² = 음수"라고 쓰면 100% 오답! 제곱근 기호 밖으로 나오면 항상 절댓값(양수)이 된다.
✎ 예제로 감 잡기
예제 1. (−√6)²의 값은?
정답: 6
예제 2. √(45/n)이 자연수가 되도록 하는 가장 작은 자연수 n은?
45 = 3² × 5 이므로, 5를 없애야 제곱수가 된다 → n = 5일 때 √9 = 3
정답: n = 5
01
다음 중 옳지 않은 것은?
- √((−5)²) = √25 = 5 이다. (근호 밖으로 나오면 항상 0 이상의 값!)
- 따라서 √((−5)²) = −5라는 ④번 진술은 거짓이다.
- 나머지 ①②③⑤는 모두 제곱근의 성질에 맞게 성립한다.
02
다음 중 무리수인 것은?
- ① √16 = 4 (유리수) ② √0.04 = 0.2 (유리수)
- ③ √(2/8) = √(1/4) = 1/2 (유리수) ⑤ √48 ÷ √3 = √16 = 4 (유리수)
- ④ √12 − √3 = 2√3 − √3 = √3 → 순환하지 않는 무한소수이므로 무리수.
03
두 실수 √20과 √54 사이에 있는 정수의 개수는?
- √16 < √20 < √25 이므로 4 < √20 < 5 → √20 ≈ 4.47
- √49 < √54 < √64 이므로 7 < √54 < 8 → √54 ≈ 7.35
- 따라서 그 사이의 정수는 5, 6, 7로 모두 3개이다.
04
√(180/n)이 자연수가 되도록 하는 자연수 n의 개수는?
- 180 = 2² × 3² × 5로 소인수분해된다.
- 180/n이 (자연수)²이 되려면, n은 180의 약수이면서 180을 n으로 나눈 몫이 완전제곱수여야 한다.
- n = 5 → 180/5 = 36 = 6² ✓ n = 20 → 180/20 = 9 = 3² ✓
- n = 45 → 180/45 = 4 = 2² ✓ n = 180 → 180/180 = 1 = 1² ✓
- 따라서 n = 5, 20, 45, 180으로 모두 4개이다.
02
Chapter Two
근호를 포함한 식의 계산
◆ 개념 정리
- 곱셈·나눗셈: a>0, b>0일 때 √a × √b = √(ab), √a ÷ √b = √(a/b)
- 분모의 유리화: 분모·분자에 같은 무리수를 곱해 분모를 유리수로 만든다. 분모가 √a + √b 꼴이면 √a − √b를 곱한다 (합차공식).
- 덧셈·뺄셈: 근호 안의 수가 같을 때만 동류항처럼 더하거나 뺄 수 있다. 먼저 근호 안을 최대한 간단히 한 뒤 계산할 것!
- 분배법칙이 그대로 적용된다: √a(√b + √c) = √(ab) + √(ac)
★ 암기 포인트
1/√a = √a/a | b/(√a−√c) → 분자·분모에 (√a+√c) 곱하기
⚡ 시험 함정: 근호 안의 수가 달라 보여도 인수분해하면 같아지는 경우가 많다 (예: √12=2√3). 계산 전에 반드시 최대한 간단히 만들 것!
✎ 예제로 감 잡기
예제 1. √2 × √8의 값은?
정답: 4
예제 2. 1/√2의 분모를 유리화하면?
정답: √2/2
05
√50 ÷ √2 × √(3/5)를 간단히 하면?
- √50 ÷ √2 = √(50/2) = √25 = 5
- 5 × √(3/5) = 5 × √3/√5 = 5√3/√5 = √5 × √3 = √15
- 따라서 정답은 √15이다.
06
4/(√5−1)을 a + b√5 (a, b는 유리수) 꼴로 나타낼 때, a + b의 값은?
- 분모·분자에 (√5+1)을 곱한다: 4(√5+1) / {(√5−1)(√5+1)}
- 분모 (√5−1)(√5+1) = 5 − 1 = 4
- 따라서 식 = 4(√5+1)/4 = √5 + 1 = 1 + 1·√5
- a = 1, b = 1이므로 a + b = 2
07
√3(√12 − √27) + √2 × √24의 값을 간단히 하면?
- √3 × √12 = √36 = 6, √3 × √27 = √81 = 9
- 따라서 √3(√12−√27) = 6 − 9 = −3
- √2 × √24 = √48 = √(16×3) = 4√3
- 전체를 더하면 −3 + 4√3
08
가로의 길이가 √8cm, 세로의 길이가 √3cm인 직사각형의 넓이는?
- 직사각형의 넓이 = 가로 × 세로 = √8 × √3
- √8 × √3 = √24 = √(4×6) = 2√6
- 따라서 넓이는 2√6 cm²이다.
03
Chapter Three
다항식의 곱셈과 인수분해
◆ 개념 정리
- 곱셈공식: (a+b)²=a²+2ab+b², (a−b)²=a²−2ab+b², (a+b)(a−b)=a²−b²
- (x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab, (ax+b)(cx+d)=acx²+(ad+bc)x+bd
- 인수분해는 곱셈공식을 거꾸로 적용하는 것! 공통인수를 먼저 묶고, 남은 식이 공식 형태인지 확인한다.
- 고난도 문제는 치환(symbol 바꾸기)을 활용한다. 비슷한 식 묶음을 한 문자로 치환하면 복잡한 식도 인수분해 공식이 보인다.
★ 암기 포인트
x+y, xy가 주어지면 → x²+y²=(x+y)²−2xy, x³+y³=(x+y)³−3xy(x+y)
⚡ 시험 함정: (x+y)², (x−y)²을 헷갈리면 부호 오류 발생! (a−b)² = (a+b)² − 4ab 공식도 꼭 암기.
✎ 예제로 감 잡기
예제 1. (x+3)(x−3)을 전개하면?
정답: x² − 9
예제 2. 곱셈공식을 이용해 53 × 47을 계산하면? (힌트: (50+3)(50−3))
정답: 2491
09
(x+2y−3)²을 전개했을 때, xy의 계수는?
- 세 항의 제곱공식: (A+B+C)² = A²+B²+C²+2AB+2BC+2CA
- 여기서 A=x, B=2y, C=−3이므로 xy항은 2AB = 2·x·2y = 4xy에서 나온다.
- 따라서 xy의 계수는 4이다. (전체 전개식: x²+4xy−6x+4y²−12y+9)
10
곱셈공식을 이용하여 97²의 값을 구하면?
- 97 = 100 − 3으로 놓는다.
- (100−3)² = 100² − 2×100×3 + 3² = 10000 − 600 + 9
- 따라서 97² = 9409
11
다항식 2x² − 12x + 18을 인수분해하면?
- 공통인수 2를 먼저 묶는다: 2x²−12x+18 = 2(x²−6x+9)
- x²−6x+9는 완전제곱식 (x−3)²이다. (가운데항 확인: 2×x×3=6x ✓)
- 따라서 2(x−3)²이 정답이다.
12
(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) − 3을 인수분해하면?
- 네 일차식 중 합이 같아지는 두 쌍으로 묶는다: (x+1)(x+4)와 (x+2)(x+3)
- (x+1)(x+4) = x²+5x+4, (x+2)(x+3) = x²+5x+6
- t = x²+5x+5 (두 식의 평균)로 치환하면 두 식은 각각 t−1, t+1
- 전체 식은 (t−1)(t+1) − 3 = t²−1−3 = t²−4 = (t−2)(t+2)
- t를 되돌리면 (x²+5x+3)(x²+5x+7)
13
x+y=5, xy=3일 때, x³+y³의 값은?
- 공식: x³+y³ = (x+y)³ − 3xy(x+y)
- (x+y)³ = 5³ = 125, 3xy(x+y) = 3×3×5 = 45
- 따라서 x³+y³ = 125 − 45 = 80
14
a+b=6, ab=7일 때, (a−b)²의 값은?
- 공식: (a−b)² = (a+b)² − 4ab
- (a+b)² = 6² = 36, 4ab = 4×7 = 28
- 따라서 (a−b)² = 36 − 28 = 8
04
Chapter Four
이차방정식
◆ 개념 정리
- 인수분해가 되면 인수분해로 가장 빠르게 푼다. 안 되면 완전제곱식 또는 근의 공식을 사용한다.
- 근의 공식: ax²+bx+c=0 (a≠0)일 때 x = (−b ± √(b²−4ac)) / 2a
- 판별식 D = b²−4ac: D>0 서로 다른 두 실근, D=0 중근(한 실근), D<0 실근 없음
- [심화] 이차방정식 ax²+bx+c=0의 두 근을 p, q라 하면 항상 p+q = −b/a, pq = c/a가 성립한다. 어려운 기출에서 두 근의 합/곱/차 조건이 자주 나온다.
★ 암기 포인트
x = (−b ± √(b²−4ac)) / 2a | D = b²−4ac
⚡ 시험 함정: 근의 공식에서 분모 2a를 빼먹는 실수가 가장 많다! 또한 "중근"은 D=0일 때 단 1개의 실근만 갖는다는 점 주의.
✎ 예제로 감 잡기
예제. x² − 5x + 6 = 0의 해는?
(x−2)(x−3)=0 으로 인수분해
정답: x = 2 또는 x = 3
15
이차방정식 2x² − 5x − 3 = 0의 해는?
- 2x²−5x−3 = (2x+1)(x−3)로 인수분해된다.
- 검산: (2x+1)(x−3) = 2x²−6x+x−3 = 2x²−5x−3 ✓
- 2x+1=0 → x=−1/2, x−3=0 → x=3
16
이차방정식 3x² − 5x + 1 = 0의 두 근을 a, b (a>b)라 할 때, a − b의 값은?
- 근의 공식: x = (5 ± √(25−12)) / 6 = (5 ± √13) / 6
- a = (5+√13)/6, b = (5−√13)/6
- a−b = (2√13)/6 = √13/3
17
이차방정식 x² + (k−2)x + 4 = 0이 중근을 가질 때, 모든 상수 k값의 합은?
- 중근 조건은 판별식 D = 0: (k−2)² − 4×1×4 = 0
- (k−2)² = 16 → k−2 = ±4
- k = 6 또는 k = −2
- 두 값의 합은 6 + (−2) = 4
18
이차방정식 x² + ax + b = 0의 한 근이 2+√3이고 a, b가 유리수일 때, a+b의 값은?
- 계수 a, b가 유리수이므로 무리수 근은 항상 켤레쌍으로 존재 → 다른 근은 2−√3
- 두 근의 합: (2+√3)+(2−√3) = 4 = −a → a = −4
- 두 근의 곱: (2+√3)(2−√3) = 4−3 = 1 = b
- 따라서 a+b = −4+1 = −3
19
가로의 길이가 세로의 길이보다 3cm 더 긴 직사각형의 넓이가 54cm²일 때, 이 직사각형의 둘레의 길이는?
- 세로를 xcm라 하면 가로는 x+3cm
- x(x+3) = 54 → x²+3x−54=0 → (x+9)(x−6)=0
- x>0이므로 x=6 (세로 6cm, 가로 9cm)
- 둘레 = 2×(9+6) = 30cm
20
이차방정식 x² − 6x + a = 0의 두 근의 차가 4일 때, 상수 a의 값은?
- 두 근을 p, q (p>q)라 하면 p+q = 6 (= −(−6)), p−q = 4
- 두 식을 더하면 2p=10 → p=5, 빼면 q=1
- a = pq = 5×1 = 5
- 검산: x²−6x+5 = (x−1)(x−5) = 0 → 두 근 1, 5의 차는 4 ✓