CHAPTER REVIEW
핵심 개념 & 암기 포인트
01
수열 (Sequences)
등차수열과 등비수열
등차: \(a_n = a_1 + (n-1)d\), \(S_n = \dfrac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)\)
등비: \(a_n = a_1 \cdot r^{n-1}\), \(S_n = \dfrac{a_1(r^n-1)}{r-1}\) (r≠1)
등비: \(a_n = a_1 \cdot r^{n-1}\), \(S_n = \dfrac{a_1(r^n-1)}{r-1}\) (r≠1)
MUST MEMORIZE
- 등차: 공차 d = \(a_{n+1} - a_n\) (일정)
- 등비: 공비 r = \(\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\) (일정)
- 등차중항: 2b = a + c
- 등비중항: b² = ac
EXAMPLE
\(a_1=3,\; d=4\)인 등차수열에서 \(a_{10}\)은?
풀이: \(a_{10} = 3 + 9 \times 4 = \mathbf{39}\)
수열의 합과 점화식
\(\sum_{k=1}^{n} k = \dfrac{n(n+1)}{2}\),
\(\sum_{k=1}^{n} k^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\),
\(\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left(\dfrac{n(n+1)}{2}\right)^2\)
MUST MEMORIZE
- 점화식 \(a_{n+1} = a_n + f(n)\) → \(a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} f(k)\)
- \(\sum_{k=1}^{n} c = cn\) (상수합)
EXAMPLE
\(\sum_{k=1}^{5} k^2\) 의 값은?
풀이: \(1+4+9+16+25 = \mathbf{55}\)
02
로그 (Logarithms)
로그의 정의와 성질
\(\log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b\) (a>0, a≠1, b>0)
\(\log_a MN = \log_a M + \log_a N\)
\(\log_a \dfrac{M}{N} = \log_a M - \log_a N\)
\(\log_a M^k = k\log_a M\)
\(\log_a MN = \log_a M + \log_a N\)
\(\log_a \dfrac{M}{N} = \log_a M - \log_a N\)
\(\log_a M^k = k\log_a M\)
MUST MEMORIZE
- \(\log_a a = 1\), \(\log_a 1 = 0\)
- 밑 변환: \(\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}\)
- \(\log 2 \approx 0.3010\), \(\log 3 \approx 0.4771\)
EXAMPLE
\(\log_3 81\) 의 값은?
풀이: \(3^4=81\) 이므로 \(\log_3 81 = \mathbf{4}\)
03
삼각함수 (Trigonometry)
삼각함수 기본값 & 항등식
\(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\)
\(1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta\), \(1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta\)
\(\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta\), \(\cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta\)
\(1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta\), \(1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta\)
\(\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta\), \(\cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta\)
MUST MEMORIZE — 특수각
- \(\sin 30°=\frac{1}{2},\; \cos 30°=\frac{\sqrt{3}}{2},\; \tan 30°=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
- \(\sin 45°=\frac{\sqrt{2}}{2},\; \cos 45°=\frac{\sqrt{2}}{2},\; \tan 45°=1\)
- \(\sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{2},\; \cos 60°=\frac{1}{2},\; \tan 60°=\sqrt{3}\)
EXAMPLE
\(\sin\theta = \dfrac{3}{5}\) (1사분면)일 때, \(\tan\theta\)는?
풀이: \(\cos\theta = \dfrac{4}{5}\), \(\tan\theta = \dfrac{3/5}{4/5} = \mathbf{\dfrac{3}{4}}\)
사인법칙과 코사인법칙
사인법칙: \(\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R\)
코사인법칙: \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A\)
코사인법칙: \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A\)
MUST MEMORIZE
- 삼각형 넓이: \(S = \dfrac{1}{2}ab\sin C\)
- 외접원 반지름 R: 사인법칙으로 구함
EXAMPLE
삼각형에서 \(a=6\), \(A=30°\)일 때, 외접원 반지름 \(R\)은?
풀이: \(2R = \dfrac{6}{\sin 30°} = \dfrac{6}{1/2} = 12\), 따라서 \(R = \mathbf{6}\)
04
극한 (Limits)
극한의 기본 공식
\(\lim_{x \to a} f(x)g(x) = \lim f(x) \cdot \lim g(x)\)
\(\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1\)
\(\lim_{x \to \infty} \dfrac{a_n x^n + \cdots}{b_m x^m + \cdots}\): 최고차항 계수비 비교
\(\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1\)
\(\lim_{x \to \infty} \dfrac{a_n x^n + \cdots}{b_m x^m + \cdots}\): 최고차항 계수비 비교
MUST MEMORIZE
- \(\dfrac{0}{0}\) 꼴: 인수분해·유리화로 약분
- \(\dfrac{\infty}{\infty}\) 꼴: 최고차항으로 나누기
- \(\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1\) (필수 암기)
EXAMPLE
\(\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2-4}{x-2}\) 의 값은?
풀이: \(\dfrac{(x+2)(x-2)}{x-2} = x+2 \to \mathbf{4}\)
05
미분 (Differentiation)
미분 공식과 활용
\((x^n)' = nx^{n-1}\), \((cf)' = cf'\), \((f \pm g)' = f' \pm g'\)
\((fg)' = f'g + fg'\), \(\left(\dfrac{f}{g}\right)' = \dfrac{f'g - fg'}{g^2}\)
\((fg)' = f'g + fg'\), \(\left(\dfrac{f}{g}\right)' = \dfrac{f'g - fg'}{g^2}\)
MUST MEMORIZE
- 극대·극소: \(f'(x)=0\)에서 부호 변화 확인
- 증가: \(f'(x)>0\), 감소: \(f'(x)<0\)
- 변곡점: \(f''(x)=0\)에서 부호 변화
EXAMPLE
\(f(x)=x^3-3x^2+2\)일 때, \(f'(2)\)는?
풀이: \(f'(x)=3x^2-6x\), \(f'(2)=12-12=\mathbf{0}\)
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