고2-1 수학 기말 핵심기출 20선

📚 핵심 개념 & 공식 정리

함수의 극한

\(\lim_{x \to a} f(x) = L\) ⟺ \(\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = L\)

좌극한 = 우극한 이어야 극한값 존재
\(\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}\): 최고차항 비교 (동차→계수비, 분자차수 더 크면 ±∞)
\(\frac{0}{0}\) 꼴: 인수분해 후 약분

예제

\(\lim_{x \to 2}\frac{x^2-4}{x-2} = \lim_{x \to 2}(x+2)\)

정답: 4

함수의 연속

\(f(x)\)가 \(x=a\)에서 연속 ⟺
① \(f(a)\) 존재 ② \(\lim_{x\to a}f(x)\) 존재
③ \(\lim_{x\to a}f(x) = f(a)\)

세 조건 모두 만족해야 연속
\(|x|\)는 \(x=0\)에서 연속이지만 미분 불가

미분계수 & 도함수

\(f'(a) = \lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\)
\((x^n)' = nx^{n-1}\), \((c)'=0\)

합·차·곱의 미분 공식 숙지
접선의 기울기 = \(f'(a)\)

예제

\(f(x)=x^3-2x\)일 때 \(f'(1)\)

= 3(1)²-2 = 1

도함수의 활용

극값: \(f'(x)=0\)에서 부호 변화 확인
\(f'(x)>0\): 증가 \(f'(x)<0\): 감소

극대: \(f'(x)\)가 양→음으로 변화
극소: \(f'(x)\)가 음→양으로 변화
닫힌 구간 최대·최소: 끝점+극값 비교

부정적분 & 정적분

\(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C\) \((n\neq -1)\)
\(\int_a^b f(x)dx = [F(x)]_a^b = F(b)-F(a)\)

넓이: \(\int_a^b|f(x)|dx\) (부호 주의!)
우함수: \(\int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_0^a f(x)dx\)
기함수: \(\int_{-a}^{a}f(x)dx=0\)

예제

\(\int_0^2(x^2+1)dx=\left[\frac{x^3}{3}+x\right]_0^2\)

= 8/3 + 2 = 14/3

함수의 극한 중 5점

\(\lim_{x \to 2}\dfrac{x^2-4}{x-2}\) 의 값은?

①

②

③

④

⑤

✅ 풀이

\(\dfrac{x^2-4}{x-2} = \dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x+2\)
∴ \(\lim_{x\to 2}(x+2) = 2+2 = \mathbf{4}\)

함수의 극한 중 5점

\(\lim_{x \to \infty}\dfrac{3x^2+2x}{x^2-1}\) 의 값은?

①

②

③

④

⑤

✅ 풀이

분자·분모 모두 \(x^2\)으로 나누면
\(\lim_{x\to\infty}\dfrac{3+\frac{2}{x}}{1-\frac{1}{x^2}} = \dfrac{3+0}{1-0} = \mathbf{3}\)

함수의 극한 상 5점

\(\lim_{x \to 0}\dfrac{\sqrt{x+4}-2}{x}\) 의 값은?

①

\(\dfrac{1}{8}\)

②

\(\dfrac{1}{4}\)

③

\(\dfrac{1}{2}\)

④

⑤

✅ 풀이 (유리화)

분자·분모에 \((\sqrt{x+4}+2)\)를 곱하면
\(\dfrac{(\sqrt{x+4})^2-4}{x(\sqrt{x+4}+2)} = \dfrac{x}{x(\sqrt{x+4}+2)} = \dfrac{1}{\sqrt{x+4}+2}\)
\(x\to 0\)이면 \(\dfrac{1}{\sqrt{4}+2} = \dfrac{1}{4} = \mathbf{\frac{1}{4}}\)

함수의 연속 중 5점

함수 \(f(x)=\begin{cases}x^2-1 & (x\neq 1)\\k & (x=1)\end{cases}\) 가 \(x=1\)에서 연속일 때, 상수 \(k\)의 값은?

①

\(-2\)

②

\(-1\)

③

④

⑤

✅ 풀이

연속 조건: \(\lim_{x\to 1}f(x) = f(1)\)
\(\lim_{x\to 1}(x^2-1) = 1-1 = 0\)
따라서 \(k = \mathbf{0}\)

함수의 연속 상 5점

\(f(x)=|x-1|\)에 대한 설명으로 옳은 것은?

①

\(x=1\)에서 불연속이다

②

\(x=1\)에서 연속이고 미분가능하다

③

\(x=0\)에서만 불연속이다

④

\(x=1\)에서 연속이지만 미분불가능하다

⑤

모든 실수에서 미분가능하다

✅ 풀이

\(f(x)=|x-1|\)은 \(x=1\)에서 연속: \(\lim_{x\to 1}f(x)=0=f(1)\)
그러나 좌미분 \(= -1\), 우미분 \(= +1\)로 다르므로 미분불가능
∴ \(x=1\)에서 연속이지만 미분불가능

미분계수 중 5점

\(f(x)=x^3-2x\)일 때, \(f'(1)\)의 값은?

①

\(-1\)

②

③

④

⑤

✅ 풀이

\(f'(x) = 3x^2 - 2\)
\(f'(1) = 3(1)^2 - 2 = 3 - 2 = \mathbf{1}\)

도함수 상 5점

곡선 \(y=x^3\) 위의 점 \((2,8)\)에서의 접선의 기울기는?

①

②

③

④

⑤

✅ 풀이

\(y'=3x^2\)
\(x=2\)에서 기울기 \(= 3\times 2^2 = 3\times 4 = \mathbf{12}\)

도함수 활용 최상 5점

\(f(x)=x^4-3x^2+2x\)일 때, \(f'(1)\)의 값은?

①

\(-2\)

②

\(-1\)

③

④

⑤

✅ 풀이

\(f'(x) = 4x^3 - 6x + 2\)
\(f'(1) = 4(1)^3 - 6(1) + 2 = 4 - 6 + 2 = \mathbf{0}\)

도함수 활용 최상 5점

\(f(x)=x^3-3x\)의 극댓값과 극솟값의 합은?

①

②

③

④

⑤

✅ 풀이

\(f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x+1)(x-1)\)
\(x=-1\): 극대, \(f(-1)=(-1)^3-3(-1)=-1+3=2\)
\(x=1\): 극소, \(f(1)=1-3=-2\)
극댓값 + 극솟값 \(= 2+(-2) = \mathbf{0}\)

도함수 활용 최상 5점

닫힌 구간 \([-1, 3]\)에서 \(f(x)=x^3-3x^2\)의 최댓값은?

①

\(-4\)

②

\(-2\)

③

④

⑤

✅ 풀이

\(f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)=0\) → \(x=0, 2\)
후보점 계산:
\(f(-1)=(-1)^3-3(-1)^2=-1-3=-4\)
\(f(0)=0-0=0\)
\(f(2)=8-12=-4\)
\(f(3)=27-27=0\)
최댓값: \(\mathbf{0}\) (x=0 또는 x=3에서)

도함수 활용 최상 5점

방정식 \(x^3-3x+2=0\)의 서로 다른 실근의 개수는?

①

②

③

④

⑤

✅ 풀이

\(f(x)=x^3-3x+2=(x-1)^2(x+2)\)
인수분해: \(x=1\)(중근), \(x=-2\) (단근)
서로 다른 실근: \(x=1\), \(x=-2\) → 2개

도함수 활용 상 5점

위치함수 \(s(t)=t^3-3t^2\)로 움직이는 점의 \(t=2\)에서의 속도는?

①

\(-4\)

②

\(-2\)

③

④

⑤

✅ 풀이

속도 \(v(t) = s'(t) = 3t^2 - 6t\)
\(v(2) = 3(4) - 6(2) = 12 - 12 = \mathbf{0}\)

부정적분 중 5점

\(\int(3x^2-2x)dx\) 를 구할 때, \(x^3\)의 계수는?

①

\(-2\)

②

\(-1\)

③

④

⑤

✅ 풀이

\(\int(3x^2-2x)dx = x^3 - x^2 + C\)
\(x^3\)의 계수 = \(\mathbf{1}\)

정적분 중 5점

\(\displaystyle\int_0^2(x^2+1)\,dx\) 의 값은?

①

\(\dfrac{10}{3}\)

②

③

\(\dfrac{14}{3}\)

④

⑤

✅ 풀이

\(\int_0^2(x^2+1)dx = \left[\dfrac{x^3}{3}+x\right]_0^2\)
\(= \left(\dfrac{8}{3}+2\right)-0 = \dfrac{8}{3}+\dfrac{6}{3} = \mathbf{\dfrac{14}{3}}\)

정적분 중 5점

\(\displaystyle\int_{-1}^{1}x^2\,dx\) 의 값은? (우함수 성질 활용)

①

②

\(\dfrac{1}{3}\)

③

\(\dfrac{2}{3}\)

④

⑤

\(\dfrac{4}{3}\)

✅ 풀이

\(x^2\)은 우함수이므로: \(\int_{-1}^{1}x^2dx = 2\int_0^1 x^2dx\)
\(= 2\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^1 = 2 \times \dfrac{1}{3} = \mathbf{\dfrac{2}{3}}\)

정적분 상 5점

\(\displaystyle\int_1^3(2x-1)\,dx\) 의 값은?

①

②

③

\(\dfrac{11}{2}\)

④

⑤

✅ 풀이

\(\int_1^3(2x-1)dx = \left[x^2-x\right]_1^3\)
\(= (9-3)-(1-1) = 6 - 0 = \mathbf{6}\)

정적분 활용 · 넓이 상 5점

구간 \([0,1]\)에서 \(y=x-x^2\)와 \(x\)축 사이의 넓이는?

①

\(\dfrac{1}{8}\)

②

\(\dfrac{1}{6}\)

③

\(\dfrac{1}{6}\)

④

\(\dfrac{1}{4}\)

⑤

\(\dfrac{1}{3}\)

✅ 풀이

\(0 \le x \le 1\)에서 \(x-x^2 = x(1-x) \ge 0\)
\(\int_0^1(x-x^2)dx = \left[\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{3}\right]_0^1\)
\(= \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3} = \mathbf{\dfrac{1}{6}}\)

롤의 정리 최상 5점

함수 \(f(x)=x^2-4x+3\)이 구간 \([1,3]\)에서 롤의 정리를 만족시키는 \(c\)의 값은?

①

②

\(\dfrac{3}{2}\)

③

④

\(\dfrac{5}{2}\)

⑤

✅ 풀이

\(f(1)=1-4+3=0\), \(f(3)=9-12+3=0\)
\(f(1)=f(3)\)이므로 롤의 정리 적용 가능
\(f'(x)=2x-4=0\) → \(x=2\)
\(1 < 2 < 3\)이므로 \(c = \mathbf{2}\)

넓이 · 두 곡선 최상 5점

두 곡선 \(y=x^2\)와 \(y=x+2\)로 둘러싸인 도형의 넓이는?

①

\(\dfrac{7}{2}\)

②

③

\(\dfrac{9}{2}\)

④

⑤

✅ 풀이

교점: \(x^2=x+2\) → \(x^2-x-2=0\) → \((x-2)(x+1)=0\)
→ \(x=-1, 2\)
\(\int_{-1}^{2}(x+2-x^2)dx = \left[\dfrac{x^2}{2}+2x-\dfrac{x^3}{3}\right]_{-1}^{2}\)
\(x=2\): \(2+4-\dfrac{8}{3}=6-\dfrac{8}{3}=\dfrac{10}{3}\)
\(x=-1\): \(\dfrac{1}{2}-2+\dfrac{1}{3}=\dfrac{3}{6}-\dfrac{12}{6}+\dfrac{2}{6}=-\dfrac{7}{6}\)
넓이 \(= \dfrac{10}{3}-\left(-\dfrac{7}{6}\right)=\dfrac{20}{6}+\dfrac{7}{6}=\dfrac{27}{6}=\mathbf{\dfrac{9}{2}}\)

극한 · 좌우극한 최상 5점

\(\lim_{x \to 0}\dfrac{|x|}{x}\) 에 대한 설명으로 옳은 것은?

①

극한값이 1이다

②

극한값이 존재하지 않는다

③

극한값이 \(-1\)이다

④

극한값이 0이다

⑤

극한값이 \(\infty\)이다

✅ 풀이

\(x>0\)이면 \(\dfrac{|x|}{x}=\dfrac{x}{x}=1\) → 우극한 = 1
\(x<0\)이면 \(\dfrac{|x|}{x}=\dfrac{-x}{x}=-1\) → 좌극한 = -1
좌극한 ≠ 우극한 → 극한값 존재하지 않음

고2-1 수학 기말고사
핵심기출 20선

📝 실전 기출문제 20선