⏱ 시험시간 40:00
2025 기출 · 완전정복

중1-1 기말 수학
핵심 기출문제 20선

소인수분해 · 정수와 유리수 · 문자와 식 · 일차방정식

📝 총 20문항
⏱ 제한 40분
🏆 각 5점
1
소인수분해
소수 (Prime Number)
1보다 큰 자연수 중 1과 자기 자신만을 약수로 갖는 수
예) 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23…
합성수 (Composite Number)
1보다 큰 자연수 중 소수가 아닌 수 (약수가 3개 이상)
예) 4, 6, 8, 9, 10, 12…
소인수분해
자연수를 소수들의 곱으로 나타내기
예) $72 = 2^3 \times 3^2$
약수의 개수
$N = p^a \times q^b$이면
약수의 개수: $(a+1)(b+1)$
⭐ 반드시 암기
  • 1은 소수도 합성수도 아님! (약수가 1뿐)
  • 2는 유일한 짝수 소수
  • 소인수분해는 작은 소수부터 나눠 올라감 (2→3→5→7…)
  • 약수의 개수 공식: 지수에 +1씩 해서 곱함
  • $2^a \times 3^b$의 약수의 합 = $(1+2+\cdots+2^a)(1+3+\cdots+3^b)$
📐 핵심 공식
$N = p^a \times q^b \times r^c$ 이면 약수의 개수 = $(a+1)(b+1)(c+1)$
📎 예제 1 — $360$을 소인수분해하고 약수의 개수를 구하여라.
$360 = 2^3 \times 3^2 \times 5^1$
약수의 개수 = $(3+1)(2+1)(1+1) = 4 \times 3 \times 2 = 24$
정답: 소인수분해 $2^3 \times 3^2 \times 5$, 약수의 개수 24개
📎 예제 2 — 84의 약수 중 소수인 것을 모두 구하여라.
$84 = 2^2 \times 3 \times 7$
소인수(소수인 약수) = 2, 3, 7
정답: 2, 3, 7
2
정수와 유리수
수의 분류
유리수 ⊃ 정수 ⊃ 자연수
정수 = 양의 정수 + 0 + 음의 정수
절댓값
수직선 위에서 원점까지의 거리
$|+5|=5$, $|-3|=3$, $|0|=0$
유리수 사칙연산 — 덧셈
같은 부호: 절댓값의 합, 공통 부호
다른 부호: 절댓값의 차, 큰 쪽 부호
유리수 사칙연산 — 곱셈
같은 부호 → (+)
다른 부호 → (−)
⭐ 반드시 암기
  • 0은 양수도 음수도 아닌 정수
  • 절댓값: $|a|$는 항상 0 이상
  • 부등호 방향: 음수는 절댓값이 클수록 더 작다 (예: $-5 < -2$)
  • 음수의 거듭제곱: $(-1)^{홀수}=-1$, $(-1)^{짝수}=+1$
  • 혼합계산: 거듭제곱 → 괄호 → 곱셈·나눗셈 → 덧셈·뺄셈
📐 부호 규칙
$(+) \times (+) = (+)$    $(-) \times (-) = (+)$
$(+) \times (-) = (-)$    $(-) \times (+) = (-)$
📎 예제 — $(-3)^2 + (-2)^3 \div 4 \times (-1)$을 계산하여라.
$(-3)^2 = 9$, $(-2)^3 = -8$
$= 9 + (-8) \div 4 \times (-1)$
$= 9 + (-2) \times (-1)$
$= 9 + 2 = 11$
정답: 11
3
문자와 식
단항식 · 다항식
단항식: 항이 1개 ($3x$, $-5$)
다항식: 항이 2개 이상 ($2x+3$)
동류항
문자와 차수가 같은 항
$3x$와 $-2x$ → 동류항
$3x$와 $3x^2$ → 동류항 아님
식의 값
문자에 수를 대입하여 계산
$x=-2$일 때, $3x+1 = 3(-2)+1 = -5$
일차식의 덧셈·뺄셈
동류항끼리 계수를 더하거나 뺌
$(3x+2)+(2x-5) = 5x-3$
⭐ 반드시 암기
  • $a \times b = ab$, $a \times a = a^2$ (곱셈 기호 생략)
  • $1 \times a = a$, $(-1) \times a = -a$ (1 생략)
  • 괄호 앞에 마이너스(−)가 있으면 괄호 풀 때 모든 부호 반대
  • 다항식 × 수: 분배법칙 적용 $a(b+c) = ab+ac$
📎 예제 — $3(2x-1) - 2(x+3)$을 간단히 하여라.
$= 6x - 3 - 2x - 6$
$= (6x - 2x) + (-3 - 6)$
$= 4x - 9$
정답: $4x - 9$
4
일차방정식
등식의 성질
$A=B$ 이면
$A+C=B+C$
$A-C=B-C$
$AC=BC$ (C≠0)
$\dfrac{A}{C}=\dfrac{B}{C}$ (C≠0)
이항(移項)
한 항을 등호 반대쪽으로 옮길 때 부호를 바꿈
$3x+5=14 \Rightarrow 3x=14-5$
계수가 소수·분수인 경우
양변에 10의 거듭제곱 또는 분모의 최솟값(LCM)을 곱해 정수로 변환
일차방정식의 풀이 순서
① 괄호 풀기
② 계수 정수로 변환
③ 이항 (미지수↔상수)
④ 동류항 정리
⑤ 양변을 계수로 나눔
⭐ 반드시 암기
  • 검산: 구한 해를 원래 방정식에 대입해 성립 확인
  • 분수 계수: 양변에 분모의 최소공배수를 곱함
  • 소수 계수: 소수점 자리만큼 10, 100…을 곱함
  • $ax = b$에서 $a=0, b \neq 0$이면 해가 없다
  • $ax = b$에서 $a=0, b = 0$이면 해가 무수히 많다
📎 예제 — $\dfrac{x-1}{2} = \dfrac{2x+1}{3}$을 풀어라.
양변에 6을 곱하면: $3(x-1) = 2(2x+1)$
$3x - 3 = 4x + 2$
$3x - 4x = 2 + 3$
$-x = 5$
$x = -5$
정답: $x = -5$
0 / 20
📐 단원 1 · 소인수분해
1
소인수분해 중
$2^2 \times 3 \times 5$의 약수의 개수는?
정답: ③ 12개
$2^2 \times 3^1 \times 5^1$의 약수의 개수
= $(2+1)(1+1)(1+1)$
= $3 \times 2 \times 2 = \mathbf{12}$개
공식: $p^a \times q^b \times r^c$의 약수의 개수 = $(a+1)(b+1)(c+1)$
2
소인수분해 상
$180$을 소인수분해하면 $2^a \times 3^b \times 5^c$일 때, $a+b+c$의 값은?
정답: ② 5
$180 = 2 \times 90 = 2^2 \times 45 = 2^2 \times 3^2 \times 5$
따라서 $a=2,\ b=2,\ c=1$
$a+b+c = 2+2+1 = \mathbf{5}$
3
소인수분해 상
$\sqrt{48 \times n}$이 자연수가 되려면, 가장 작은 자연수 $n$의 값은?
정답: ② 3
$48 = 2^4 \times 3^1$
$48 \times n$이 완전제곱수가 되려면, 3의 지수 1이 홀수이므로 3을 한 번 더 곱해야 함
$48 \times 3 = 144 = 12^2$ ✓
가장 작은 자연수 $n = \mathbf{3}$
4
소인수분해 상
두 자연수 $A$, $B$에 대해 최대공약수가 12, 최소공배수가 180일 때, 가능한 $(A,B)$ 쌍의 수는? (단, $A \leq B$)
정답: ① 2쌍
$12 = 2^2 \times 3$, $180 = 2^2 \times 3^2 \times 5$
$A = 12a$, $B = 12b$ (단, $\gcd(a,b)=1$, $ab = 15$)
$15 = 1 \times 15 = 3 \times 5$
→ $(a,b) = (1,15)$: $A=12, B=180$
→ $(a,b) = (3,5)$: $A=36, B=60$
$\gcd(1,15)=1$ ✓, $\gcd(3,5)=1$ ✓
총 2쌍
5
소인수분해 상
약수의 개수가 12개인 가장 작은 자연수는?
정답: ① 60
약수의 개수가 12인 경우 분해: $12 = 12,\ 6\times2,\ 4\times3,\ 3\times2\times2,\ 2\times2\times3$
각 구조에서 가장 작은 수:
• $p^{11}$: $2^{11}=2048$
• $p^5 q$: $2^5\times3=96$
• $p^3 q^2$: $2^3\times3^2=72$
• $p^2 qr$: $2^2\times3\times5=\mathbf{60}$ ← 최소
검증: $60=2^2\times3\times5$, 약수 개수 $(2+1)(1+1)(1+1)=12$ ✓
📐 단원 2 · 정수와 유리수
6
정수와 유리수 중
다음 중 절댓값이 $\dfrac{5}{2}$ 이하인 정수의 개수는?
정답: ② 5개
$|x| \leq \dfrac{5}{2} = 2.5$인 정수 $x$
$-2.5 \leq x \leq 2.5$를 만족하는 정수:
$-2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2$
총 5개
7
정수와 유리수 상
$\left(-\dfrac{2}{3}\right)^2 \times \left(-\dfrac{3}{4}\right) \div \dfrac{1}{6}$을 계산하면?
정답: ⑤ $-2$
$\left(-\dfrac{2}{3}\right)^2 = \dfrac{4}{9}$

$\dfrac{4}{9} \times \left(-\dfrac{3}{4}\right) \div \dfrac{1}{6}$

$= \dfrac{4}{9} \times \left(-\dfrac{3}{4}\right) \times 6$

$= \dfrac{4 \times (-3) \times 6}{9 \times 4} = \dfrac{-72}{36} = \mathbf{-2}$
8
정수와 유리수 상
$(-1)^{100} + (-1)^{101} - (-2)^3 \times \left(-\dfrac{1}{2}\right)^2$의 값은?
정답: ③ $2$
$(-1)^{100} = 1$ (짝수 지수 → 양수)
$(-1)^{101} = -1$ (홀수 지수 → 음수)
$(-2)^3 = -8$
$\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{4}$

$= 1 + (-1) - (-8) \times \dfrac{1}{4}$
$= 0 - (-2)$
$= 0 + 2 = \mathbf{2}$
9
정수와 유리수 상
$a = -\dfrac{3}{4}$, $b = \dfrac{2}{3}$일 때, $a \div b - a \times b$의 값은?
정답: ⑤ $-\dfrac{5}{8}$
$a \div b = -\dfrac{3}{4} \div \dfrac{2}{3} = -\dfrac{3}{4} \times \dfrac{3}{2} = -\dfrac{9}{8}$

$a \times b = -\dfrac{3}{4} \times \dfrac{2}{3} = -\dfrac{6}{12} = -\dfrac{1}{2} = -\dfrac{4}{8}$

$a \div b - a \times b = -\dfrac{9}{8} - \left(-\dfrac{4}{8}\right)$
$= -\dfrac{9}{8} + \dfrac{4}{8} = \mathbf{-\dfrac{5}{8}}$
10
정수와 유리수 중
수직선에서 $-\dfrac{7}{3}$과 $\dfrac{3}{2}$ 사이에 있는 정수를 모두 더한 값은?
정답: ② $-2$
$-\dfrac{7}{3} \approx -2.33$, $\dfrac{3}{2} = 1.5$
이 사이($-2.33 < x < 1.5$)의 정수: $-2,\ -1,\ 0,\ 1$
합 = $-2 + (-1) + 0 + 1 = \mathbf{-2}$
📐 단원 3 · 문자와 식
11
문자와 식 중
$x = -2$일 때, $-x^2 + 3x - 1$의 값은?
정답: ① $-11$
$x = -2$ 대입:
$-(-2)^2 + 3 \times (-2) - 1$
$= -(4) + (-6) - 1$
$= -4 - 6 - 1 = \mathbf{-11}$
⚠️ 주의: $-x^2$에서 $x=-2$를 대입하면 $-(-2)^2 = -(4) = -4$ (마이너스는 제곱에 포함 안 됨)
12
문자와 식 상
$A = 3x - 2y + 1$, $B = -x + 4y - 3$일 때, $2A - B$를 간단히 하면?
정답: ② $7x - 8y + 5$
$2A = 2(3x - 2y + 1) = 6x - 4y + 2$
$-B = -(-x + 4y - 3) = x - 4y + 3$

$2A - B = (6x - 4y + 2) + (x - 4y + 3)$
$= (6x + x) + (-4y - 4y) + (2 + 3)$
$= \mathbf{7x - 8y + 5}$
13
문자와 식 상
어떤 식 $X$에 $2x - 3$을 더해야 할 것을 잘못하여 빼었더니 $-x + 5$가 되었다. 올바른 계산의 결과는?
정답: ① $3x-1$
잘못한 계산: $X - (2x-3) = -x + 5$
$X = -x + 5 + 2x - 3 = x + 2$

올바른 계산: $X + (2x-3) = (x+2) + (2x-3)$
$= 3x - 1$
14
문자와 식 중
다음 중 일차식인 것만을 모두 고른 것은?
ㄱ. $3x^2 - x$   ㄴ. $\dfrac{2}{x} + 1$   ㄷ. $-4x + 7$   ㄹ. $5$
정답: ② ㄷ만
일차식: 차수가 정확히 1인 다항식
ㄱ. $3x^2 - x$ → 최고차수 2 (이차식) ✗
ㄴ. $\dfrac{2}{x} + 1$ → 분모에 $x$ 있음, 다항식 아님 ✗
ㄷ. $-4x + 7$ → 차수 1 (일차식) ✓
ㄹ. $5$ → 상수 (0차식) ✗
일차식: ㄷ만
15
문자와 식 상
$a=2, b=-1$일 때, $\dfrac{3a-2b}{ab} + \dfrac{a+b}{a-b}$의 값은?
정답: ② $-\dfrac{11}{3}$
$a=2, b=-1$ 대입:
$\dfrac{3(2)-2(-1)}{(2)(-1)} + \dfrac{2+(-1)}{2-(-1)}$

$= \dfrac{6+2}{-2} + \dfrac{1}{3}$

$= \dfrac{8}{-2} + \dfrac{1}{3}$

$= -4 + \dfrac{1}{3} = -\dfrac{12}{3} + \dfrac{1}{3} = \mathbf{-\dfrac{11}{3}}$
📐 단원 4 · 일차방정식
16
일차방정식 중
방정식 $3(x-2) = 2x + 1$의 해는?
정답: ② $x = 7$
$3(x-2) = 2x + 1$
$3x - 6 = 2x + 1$
$3x - 2x = 1 + 6$
$x = \mathbf{7}$

검산: $3(7-2) = 15$, $2(7)+1 = 15$ ✓
17
일차방정식 상
$\dfrac{x+3}{4} - \dfrac{x-1}{2} = 1$의 해는?
정답: ⑤ $x = 1$
양변에 4를 곱하면:
$(x+3) - 2(x-1) = 4$
$x + 3 - 2x + 2 = 4$
$-x + 5 = 4$
$-x = -1$
$x = \mathbf{1}$

검산: $\dfrac{1+3}{4} - \dfrac{1-1}{2} = 1 - 0 = 1$ ✓
18
일차방정식 상
방정식 $ax + 3 = 2x + b$의 해가 $x = -1$일 때, $a + b$의 값은? (단, $a, b$는 상수)
정답: ② $5$
$x=-1$ 대입: $a(-1) + 3 = 2(-1) + b$
$-a + 3 = -2 + b$
$-a - b = -5$
$\therefore a + b = \mathbf{5}$

($a$와 $b$ 각각의 값은 하나로 결정되지 않지만, 합은 유일하게 결정됨)
19
일차방정식 상
어떤 수의 $3$배에서 $7$을 뺀 것이 그 수의 $2$배에 $4$를 더한 것과 같다. 어떤 수는?
정답: ③ $11$
어떤 수를 $x$라 하면:
$3x - 7 = 2x + 4$
$3x - 2x = 4 + 7$
$x = \mathbf{11}$

검산: $3(11)-7=26$, $2(11)+4=26$ ✓
20
일차방정식 상
현재 아버지의 나이는 $46$세, 아들의 나이는 $14$세이다. 아버지의 나이가 아들 나이의 $2$배가 되는 것은 몇 년 후인가?
정답: ③ $18$년 후
$x$년 후라 하면:
아버지 나이: $46 + x$
아들 나이: $14 + x$

조건: $46 + x = 2(14 + x)$
$46 + x = 28 + 2x$
$46 - 28 = 2x - x$
$x = 18$

검산: $46+18=64$, $2(14+18)=2 \times 32=64$ ✓
→ 18년 후

* 미답 문항은 오답 처리됩니다

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/ 100점
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📊 단원별 성취도
소인수분해
0%
정수와 유리수
0%
문자와 식
0%
일차방정식
0%
📋 정답 일람표
Q1
③
Q2
②
Q3
②
Q4
①
Q5
①
Q6
②
Q7
⑤
Q8
③
Q9
⑤
Q10
②
Q11
①
Q12
②
Q13
①
Q14
②
Q15
②
Q16
②
Q17
⑤
Q18
②
Q19
③
Q20
③