2025 · 기출 완전정복

중3-1 기말고사
수학 핵심 기출문제

제곱근 · 다항식 · 인수분해 · 이차방정식

20
핵심 문제
4
단원
40
분 제한
남은 시간
40:00
0 / 20
1
제곱근과 실수
📐 핵심 개념 & 암기 공식
MUST KNOW
• √a² = |a| (a ≥ 0이면 a, a < 0이면 −a)
• √a × √b = √(ab)，√a ÷ √b = √(a/b) (a,b > 0)
• (√a)² = a，(−√a)² = a (a ≥ 0)
• a > 0, b > 0일 때：a < b ⟺ √a < √b
• 무리수: 순환하지 않는 무한소수 (예: √2, π)

실수 = 유리수 + 무리수. 수직선 위의 모든 점이 실수에 대응됩니다.

예제
√(−3)² = |−3| = 3， √0.04 = 0.2， −√25 = −5
√2 × √8 = √16 = 4， √18/√2 = √9 = 3
2
다항식의 곱셈
📐 핵심 개념 & 암기 공식
MUST KNOW
• (a+b)² = a²+2ab+b²
• (a−b)² = a²−2ab+b²
• (a+b)(a−b) = a²−b²
• (x+a)(x+b) = x²+(a+b)x+ab
• (ax+b)(cx+d) = acx²+(ad+bc)x+bd
예제
(2x+3)² = 4x²+12x+9
(x+2)(x−5) = x²−3x−10
(3x−1)(2x+4) = 6x²+12x−2x−4 = 6x²+10x−4
3
인수분해
📐 핵심 개념 & 암기 공식
MUST KNOW
• ma+mb = m(a+b) [공통인수]
• a²+2ab+b² = (a+b)²
• a²−2ab+b² = (a−b)²
• a²−b² = (a+b)(a−b)
• x²+(a+b)x+ab = (x+a)(x+b)
예제
x²+6x+9 = (x+3)²
x²−16 = (x+4)(x−4)
x²+5x+6 = (x+2)(x+3)
4
이차방정식
📐 핵심 개념 & 암기 공식
MUST KNOW
• ax²+bx+c = 0 (a≠0) → 인수분해, 완전제곱, 근의 공식
• 근의 공식: x = (−b ± √(b²−4ac)) / 2a
• 판별식 D = b²−4ac
D > 0: 서로 다른 두 실근
D = 0: 중근 (같은 두 실근)
D < 0: 실근 없음
• 두 근의 합: α+β = −b/a，두 근의 곱: αβ = c/a
예제
x²−5x+6=0 → (x−2)(x−3)=0 → x=2 또는 x=3
2x²+3x−2=0 → (2x−1)(x+2)=0 → x=1/2 또는 x=−2
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실전 기출 문제 20선

객관식 5지선다 · 난이도 상 · 시험장처럼 풀어보세요

0 / 20 완료
문제 01 제곱근과 실수 ★★★☆☆

√(2−√5)²의 값은?

문제 02 제곱근과 실수 ★★★☆☆

√75 − √27 + √12를 간단히 한 것은?

문제 03 제곱근과 실수 ★★★★☆

√2 = 1.414, √20 = 4.472일 때, √0.2의 값은?

문제 04 제곱근과 실수 ★★★★☆

분모를 유리화하여 1/(√6−√2)를 계산한 것은?

문제 05 제곱근과 실수 ★★★★★

다음 중 옳은 것은?
(단, a < 0, b > 0)

문제 06 다항식의 곱셈 ★★★☆☆

(3x − 2y)²을 전개하면?

문제 07 다항식의 곱셈 ★★★★☆

다음을 전개할 때 x의 계수는?
(2x + 1)(3x − 4)

문제 08 다항식의 곱셈 ★★★★☆

곱셈 공식을 이용하여 99²을 계산하면?

문제 09 다항식의 곱셈 ★★★★★

x + 1/x = 3일 때, x² + 1/x²의 값은?

문제 10 다항식의 곱셈 ★★★★★

(x+2)(x−2)(x²+4)를 전개하면?

문제 11 인수분해 ★★★☆☆

x² − 10x + 25를 인수분해하면?

문제 12 인수분해 ★★★★☆

2x² + 7x + 3을 인수분해하면?

문제 13 인수분해 ★★★★☆

인수분해를 이용하여 2024² − 2023²을 계산하면?

문제 14 인수분해 ★★★★★

x² + xy − 2y²을 인수분해하면?

문제 15 인수분해 ★★★★★

3x² − 12을 완전히 인수분해하면?

문제 16 이차방정식 ★★★☆☆

이차방정식 x² − 7x + 12 = 0의 두 근의 합은?

문제 17 이차방정식 ★★★★☆

이차방정식 3x² − 6x − 1 = 0을 근의 공식으로 풀면?

문제 18 이차방정식 ★★★★☆

이차방정식 x² + kx + 9 = 0이 중근을 가질 때, 양수 k의 값은?

문제 19 이차방정식 ★★★★★

어떤 자연수를 제곱하면 그 자연수의 5배보다 6이 크다고 한다. 이 자연수는?

문제 20 이차방정식 ★★★★★

이차방정식 x² − 4x + a = 0의 한 근이 x = 1일 때, 다른 한 근과 상수 a의 값은?

최종 점수
0/20

📋 정답 및 해설

01②√(2−√5)²=|2−√5|. √5≈2.236이므로 2−√5<0. 따라서 |2−√5|=√5−2
02④√75=5√3, √27=3√3, √12=2√3 → 5√3−3√3+2√3=4√3
03②√0.2=√(20/100)=√20/10=4.472/10=0.4472
04③1/(√6−√2)×(√6+√2)/(√6+√2)=(√6+√2)/(6−2)=(√6+√2)/4
05③a<0이면 √(a²)=|a|=−a. b>0이면 √(b²)=b. 따라서 합=−a+b
06②(3x−2y)²=(3x)²−2(3x)(2y)+(2y)²=9x²−12xy+4y²
07②(2x+1)(3x−4)=6x²−8x+3x−4=6x²−5x−4. x의 계수=−5
08③99²=(100−1)²=10000−200+1=9801
09④(x+1/x)²=x²+2+1/x²=9 → x²+1/x²=7
10③(x+2)(x−2)=x²−4 → (x²−4)(x²+4)=x⁴−16
11③x²−10x+25=x²−2(x)(5)+5²=(x−5)²
12④2x²+7x+3=(2x+1)(x+3). 확인: 2x²+6x+x+3=2x²+7x+3 ✓
13③a²−b²=(a+b)(a−b): (2024+2023)(2024−2023)=4047×1=4047
14②x²+xy−2y²=(x+2y)(x−y). 확인: x²−xy+2xy−2y²=x²+xy−2y² ✓
15④3x²−12=3(x²−4)=3(x+2)(x−2) [공통인수 후 합차공식]
16④(x−3)(x−4)=0 → x=3,4. 두 근의 합=7
17②x=(6±√(36+12))/6=(6±√48)/6=(6±4√3)/6=(3±2√3)/3
18③중근 조건 D=0: k²−36=0 → k=±6. 양수이므로 k=6
19④x²=5x+6 → x²−5x−6=0 → (x−6)(x+1)=0 → 자연수 x=6
20③x=1 대입: 1−4+a=0 → a=3. 두 근의 합=4 → 다른 근=3