근의 공식
이차방정식의 근을 직접 구하는 만능 공식
$ax^2 + bx + c = 0$ 일 때 $(a \neq 0)$
$$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$
판별식 D = b² − 4ac
판별식의 값으로 근의 개수를 결정합니다
$D > 0$
서로 다른
두 실근
두 실근
근이 2개
$D = 0$
중근
(같은 두 근)
(같은 두 근)
근이 1개
$D < 0$
실근 없음
(허근)
(허근)
근이 없음
꼭 암기할 핵심 5가지
계수 읽기: $ax^2+bx+c=0$에서 $a$는 $x^2$ 계수, $b$는 $x$ 계수, $c$는 상수항
$\pm$ 기호: 더하면 큰 근(또는 같음), 빼면 작은 근 → 두 개의 근이 나옴
판별식 $D = b^2 - 4ac$: 근호 안의 값, 이것이 음수면 실수 해 없음
$a = 1$이면 인수분해가 더 쉬울 수 있다 — 하지만 근의 공식은 항상 사용 가능
분모는 반드시 $2a$: $2$ 또는 $2 \times a$ 잘못 쓰지 않도록 주의
예제 풀이 1 — 기본형
문제
$2x^2 - 7x + 3 = 0$을 근의 공식으로 풀어라
① 계수 확인: $a=2,\; b=-7,\; c=3$
② 판별식: $D = (-7)^2 - 4(2)(3) = 49 - 24 = 25 > 0$
③ 근의 공식 적용:
$x = \dfrac{-(-7) \pm \sqrt{25}}{2 \times 2} = \dfrac{7 \pm 5}{4}$
④ 두 근: $x = \dfrac{7+5}{4} = 3$ 또는 $x = \dfrac{7-5}{4} = \dfrac{1}{2}$
예제 풀이 2 — 중근
문제
$x^2 - 6x + 9 = 0$을 근의 공식으로 풀어라
① 계수 확인: $a=1,\; b=-6,\; c=9$
② 판별식: $D = (-6)^2 - 4(1)(9) = 36 - 36 = 0$
$x = \dfrac{-(-6) \pm \sqrt{0}}{2 \times 1} = \dfrac{6 \pm 0}{2} = 3$
④ 결론: $D=0$이므로 중근, $x=3$ (하나의 해)
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