수능 수학 킬러문항 20선

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단원별 핵심 개념 & 암기 포인트

단원 01 수열의 극한 & 급수

\(\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{a}{b}\) (단, \(a_n \to a,\; b_n \to b \neq 0\))

⭐ 필수 암기

\(\lim_{n\to\infty} r^n = 0\) (\(|r|<1\)), \(\lim_{n\to\infty} r^n = \infty\) (\(r>1\))

등비급수: \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1} = \frac{a}{1-r}\) (\(|r|<1\))

수열의 극한 사칙연산은 각 항의 극한이 존재할 때만 가능

예제

\(\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{3n^2+2n}{2n^2-1}\) 를 구하여라.

풀이: 분자·분모를 \(n^2\)으로 나누면 \(\dfrac{3+2/n}{2-1/n^2} \to \dfrac{3}{2}\)

단원 02 미분법

\(\displaystyle (e^x)' = e^x,\quad (\ln x)' = \frac{1}{x},\quad (\sin x)' = \cos x,\quad (\cos x)' = -\sin x\)

합성함수: \(\{f(g(x))\}' = f'(g(x))\cdot g'(x)\) | 곱의 미분: \((uv)' = u'v + uv'\)

⭐ 필수 암기

로피탈 정리: \(\frac{0}{0}\) 꼴 극한 → 분자·분모 각각 미분

접선의 기울기 = \(f'(a)\) (점 \(x=a\)에서)

극값: \(f'(x)=0\)이고 부호가 바뀌는 점

예제

\(f(x)=e^{2x}\sin x\)의 도함수를 구하여라.

풀이: \(f'(x)=2e^{2x}\sin x + e^{2x}\cos x = e^{2x}(2\sin x+\cos x)\)

단원 03 적분법

\(\displaystyle \int e^x dx = e^x + C,\quad \int \frac{1}{x}dx = \ln|x|+C,\quad \int \sin x\,dx = -\cos x+C\)

치환적분: \(\displaystyle \int f(g(x))g'(x)dx\), 부분적분: \(\displaystyle \int u\,dv = uv - \int v\,du\)

⭐ 필수 암기

넓이: \(\displaystyle S = \int_a^b |f(x)-g(x)|\,dx\)

부피: 회전체 \(\displaystyle V = \pi\int_a^b \{f(x)\}^2\,dx\)

속도·위치: \(\displaystyle x(t) = x(0) + \int_0^t v(s)\,ds\)

예제

\(\displaystyle \int_0^1 xe^{x^2}dx\) 를 구하여라.

풀이: \(u=x^2\) 치환, \(du=2x\,dx\) → \(\dfrac{1}{2}\int_0^1 e^u du = \dfrac{e-1}{2}\)

단원 04 확률과 통계

\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\) | \(P(A|B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}\)

⭐ 필수 암기

이항분포: \(X\sim B(n,p)\) → \(E(X)=np,\; V(X)=np(1-p)\)

정규분포: \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\) → \(Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)\)

조합: \(\displaystyle \binom{n}{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\)

예제

\(X\sim B(10, 0.4)\)일 때 \(E(X)\)와 \(V(X)\)를 구하여라.

풀이: \(E(X)=10\times0.4=4\), \(V(X)=10\times0.4\times0.6=2.4\)

단원 05 벡터 & 공간도형

\(\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta\) | \(|\vec{a}\times\vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta\)

⭐ 필수 암기

두 벡터가 수직: \(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)

직선의 방정식(매개변수형): \(\vec{r}=\vec{a}+t\vec{d}\)

평면의 방정식: \(ax+by+cz+d=0\) (법선벡터 \((a,b,c)\))

예제

\(\vec{a}=(1,2,2)\)의 크기를 구하여라.

풀이: \(|\vec{a}|=\sqrt{1^2+2^2+2^2}=\sqrt{9}=3\)

✏️

실전 킬러문항 20선

수열의 극한

★★★★★ 킬러

자연수 \(n\)에 대하여 \(\displaystyle a_n = \frac{n^3+3n^2-1}{2n^3-n+4}\) 일 때, \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n\) 의 값은?

1 \(\dfrac{1}{4}\)

2 \(\dfrac{1}{2}\)

3 \(\dfrac{1}{2}\) — 정답 후보

4 \(1\) — 오답

5 \(2\)

수열의 극한

★★★★★ 킬러

다음 등비급수의 합을 구하여라. \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{4^n}\]

1 \(\dfrac{1}{4}\)

2 \(1\)

3 \(\dfrac{3}{4}\)

4 \(2\)

5 \(3\)

미분법 – 극값

★★★★★ 킬러

함수 \(f(x)=2x^3-9x^2+12x-4\) 가 극댓값을 가지는 \(x\)의 값은?

1 \(x=-2\)

2 \(x=0\)

3 \(x=1\)

4 \(x=2\)

5 \(x=3\)

미분법 – 접선

★★★★★ 킬러

곡선 \(y=e^x\) 위의 점 \((0,1)\)에서의 접선이 점 \((k,0)\)을 지날 때, \(k\)의 값은?

1 \(-2\)

2 \(-\dfrac{1}{2}\)

3 \(0\)

4 \(-1\)

5 \(1\)

적분법 – 넓이

★★★★★ 킬러

곡선 \(y=x^2-2x\) 와 직선 \(y=x\) 로 둘러싸인 도형의 넓이는?

1 \(\dfrac{7}{6}\)

2 \(\dfrac{5}{6}\)

3 \(2\)

4 \(\dfrac{3}{2}\)

5 \(\dfrac{9}{2}\)

적분법 – 치환적분

★★★★★ 킬러

\(\displaystyle\int_0^{\pi/2} \sin^3 x\cos x\,dx\) 의 값은?

1 \(\dfrac{1}{4}\)

2 \(\dfrac{1}{2}\)

3 \(1\)

4 \(\dfrac{3}{4}\)

5 \(2\)

적분법 – 부분적분

★★★★★ 킬러

\(\displaystyle\int_0^1 xe^x\,dx\) 의 값은?

1 \(1\)

2 \(e\)

3 \(e-2\)

4 \(e+1\)

5 \(2e\)

확률 – 조건부확률

★★★★★ 킬러

주머니에 빨간 공 3개, 파란 공 2개가 있다. 임의로 2개를 꺼낼 때, 두 공이 같은 색일 확률은?

1 \(\dfrac{1}{5}\)

2 \(\dfrac{2}{5}\)

3 \(\dfrac{3}{5}\)

4 \(\dfrac{4}{5}\)

5 \(\dfrac{1}{2}\)

확률 – 이항분포

★★★★★ 킬러

이항분포 \(B\!\left(12,\,\dfrac{1}{3}\right)\) 을 따르는 확률변수 \(X\)에 대하여 \(V(3X+1)\) 의 값은?

1 \(8\)

2 \(16\)

3 \(24\)

4 \(32\)

5 \(48\)

확률 – 정규분포

★★★★★ 킬러

\(X\sim N(50, 10^2)\) 일 때, \(P(40\le X\le 70)\) 를 표준정규분포 \(Z\sim N(0,1^2)\) 로 나타내면?

1 \(P(0\le Z\le 1)+P(0\le Z\le 3)\)

2 \(P(-1\le Z\le 2)\)

3 \(P(0\le Z\le 1)+P(0\le Z\le 2)\)

4 \(P(-1\le Z\le 2)\)

5 \(P(0\le Z\le 2)+P(0\le Z\le 1)\)

미분 – 로그함수

★★★★★ 킬러

\(f(x)=\ln(x^2+1)\) 일 때, \(f'(1)\) 의 값은?

1 \(\dfrac{1}{2}\)

2 \(1\)

3 \(\dfrac{3}{2}\)

4 \(2\)

5 \(\ln 2\)

미분 – 삼각함수

★★★★★ 킬러

\(f(x)=\sin^2 x\) 일 때, \(f'\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\) 의 값은?

1 \(1\)

2 \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

3 \(0\)

4 \(-1\)

5 \(\sqrt{2}\)

극한 – 지수·로그

★★★★★ 킬러

\(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{e^{2x}-1}{x}\) 의 값은?

1 \(0\)

2 \(1\)

3 \(e\)

4 \(e^2\)

5 \(2\)

적분 – 정적분 응용

★★★★★ 킬러

함수 \(f(x)\)가 \(f'(x)=3x^2-4x+1\)이고 \(f(0)=2\)일 때, \(f(2)\)의 값은?

1 \(1\)

2 \(2\)

3 \(2\)

4 \(4\)

5 \(6\)

수열 – 점화식

★★★★★ 킬러

수열 \(\{a_n\}\) 이 \(a_1=1,\; a_{n+1}=2a_n+1\) 을 만족할 때, \(a_4\) 의 값은?

1 \(7\)

2 \(11\)

3 \(13\)

4 \(15\)

5 \(17\)

함수의 연속

★★★★★ 킬러

함수 \(f(x)=\begin{cases}ax+3 & (x<1)\\ 2x^2+b & (x\ge1)\end{cases}\) 가 \(x=1\)에서 연속이 되려면?

연속의 정의: \(\lim_{x\to1^-}f(x)=\lim_{x\to1^+}f(x)=f(1)\)

1 \(a=1, b=1\)

2 \(a+b=3\) (\(a,b\) 는 \(a+b=3\) 만족하면 무수히 많음)

3 \(a=3, b=0\)

4 \(a=2, b=1\)

5 \(a=0, b=3\)

조합 – 중복조합

★★★★★ 킬러

서로 다른 5종류의 음료 중 중복을 허락하여 3잔을 고르는 경우의 수는?

1 \(10\)

2 \(15\)

3 \(35\)

4 \(60\)

5 \(125\)

벡터 – 내적

★★★★★ 킬러

\(\vec{a}=(2,1,-1)\), \(\vec{b}=(1,-1,2)\) 일 때, \(\vec{a}\cdot\vec{b}\) 의 값은?

1 \(6\)

2 \(4\)

3 \(2\)

4 \(0\)

5 \(-1\)

미분 – 평균값 정리

★★★★★ 킬러

함수 \(f(x)=x^3-3x\) 에 대하여 평균값 정리를 구간 \([0,2]\) 에 적용할 때, 정리를 만족시키는 \(c\) 의 값은? (단, \(0<c<2\))

1 \(\dfrac{1}{3}\)

2 \(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\)

3 \(1\)

4 \(\sqrt{2}\)

5 \(\sqrt{3}\)

적분 – 속도·위치

★★★★★ 킬러

직선 위를 움직이는 점 P의 속도가 \(v(t)=3t^2-6t\) 이고 \(t=0\)일 때 위치가 \(1\)이다. \(t=3\)일 때의 위치는?

1 \(1\)

2 \(3\)

3 \(4\)

4 \(6\)

5 \(9\)

📋

정답 & 상세 해설

01 수열의 극한 정답: ③ ½

핵심 전략

분자·분모를 최고차항 \(n^3\)으로 나눈다.

\[\lim_{n\to\infty}\frac{n^3+3n^2-1}{2n^3-n+4} = \lim_{n\to\infty}\frac{1+3/n-1/n^3}{2-1/n^2+4/n^3} = \frac{1}{2}\]

02 등비급수 정답: ② 1

등비급수 공식

\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}ar^{n-1}=\frac{a}{1-r}\), \(|r|<1\)

\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3}{4^n}=3\sum_{n=1}^{\infty}\!\left(\frac{1}{4}\right)^{\!n}=3\cdot\frac{1/4}{1-1/4}=3\cdot\frac{1}{3}=1\]

03 극값 정답: ③ x=1

미분

\(f'(x)=6x^2-18x+12=6(x-1)(x-2)\)

\(f'(x)=0\): \(x=1\) 또는 \(x=2\)
증감표: \(x=1\) 좌우에서 \(f'(x)\) 부호가 \((+)\to(-)\) → 극대
\(x=2\) 좌우에서 \(f'(x)\) 부호가 \((-)\to(+)\) → 극소
따라서 극댓값은 \(x=1\)에서 발생.

04 접선 정답: ④ k = −1

접선의 기울기

\(y'=e^x\), \(x=0\)에서 \(y'=1\)

접선: \(y-1=1\cdot(x-0)\) → \(y=x+1\)
\(y=0\) 대입: \(0=k+1\) → \(k=-1\)

05 넓이 정답: ⑤ 9/2

교점 계산

\(x^2-2x=x\) → \(x^2-3x=0\) → \(x=0\) 또는 \(x=3\)

\[S=\int_0^3\bigl[x-(x^2-2x)\bigr]dx=\int_0^3(-x^2+3x)dx\] \[=\left[-\frac{x^3}{3}+\frac{3x^2}{2}\right]_0^3=-9+\frac{27}{2}=\frac{9}{2}\]

06 치환적분 정답: ① 1/4

치환

\(u=\sin x\), \(du=\cos x\,dx\). \(x:0\to\pi/2\) → \(u:0\to1\)

\[\int_0^{\pi/2}\sin^3 x\cos x\,dx=\int_0^1 u^3\,du=\left[\frac{u^4}{4}\right]_0^1=\frac{1}{4}\]

07 부분적분 정답: ① 1

부분적분

\(u=x,\;dv=e^x dx\) → \(du=dx,\;v=e^x\)

\[\int_0^1 xe^x dx=\Bigl[xe^x\Bigr]_0^1-\int_0^1 e^x dx=(e-0)-(e-1)=1\]

08 확률 정답: ② 2/5

전체: \(\binom{5}{2}=10\)
빨간 2개: \(\binom{3}{2}=3\), 파란 2개: \(\binom{2}{2}=1\)
\[P=\frac{3+1}{10}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}\]

09 이항분포 정답: ③ 24

분산 공식

\(V(aX+b)=a^2V(X)\)

\(V(X)=12\cdot\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{2}{3}=\dfrac{8}{3}\)
\(V(3X+1)=9\cdot\dfrac{8}{3}=24\)

10 정규분포 정답: ④ P(−1≤Z≤2)

\(Z=\dfrac{X-50}{10}\): \(X=40\to Z=-1\), \(X=70\to Z=2\)
따라서 \(P(40\le X\le70)=P(-1\le Z\le2)\)

11 로그함수 미분 정답: ② 1

\(f'(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}\)
\(f'(1)=\dfrac{2}{1+1}=1\)

12 삼각함수 미분 정답: ① 1

\(f(x)=\sin^2x\) → \(f'(x)=2\sin x\cos x=\sin 2x\)
\(f'\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\sin\dfrac{\pi}{2}=1\)

13 지수극한 정답: ⑤ 2

기본 극한

\(\lim_{x\to0}\dfrac{e^x-1}{x}=1\)

\[\lim_{x\to0}\frac{e^{2x}-1}{x}=\lim_{x\to0}\frac{e^{2x}-1}{2x}\cdot2=1\cdot2=2\]

14 정적분 응용 정답: ③ 2

\(f(x)=x^3-2x^2+x+C\), \(f(0)=C=2\)
\(f(x)=x^3-2x^2+x+2\)
\(f(2)=8-8+2+2=4\)

재확인

\(f(2)=8-8+2+2=4\) → 정답은 ④ 4

※ 주의: 정답은 ④ 4 입니다.

15 점화식 정답: ④ 15

\(a_1=1\)
\(a_2=2(1)+1=3\)
\(a_3=2(3)+1=7\)
\(a_4=2(7)+1=15\)

16 연속 정답: ② a+b=3

좌극한: \(\lim_{x\to1^-}(ax+3)=a+3\)
우극한 = 함수값: \(f(1)=2+b\)
연속 조건: \(a+3=2+b\) → \(a-b=-1\) 즉 \(a+3=b+2\)
※ 조건을 만족하는 \((a,b)\)의 쌍은 무한히 많으며, \(a-b=-1\)이 성립해야 합니다. 보기 ③ \(a=3,b=0\)은 \(3-0\neq-1\)이라 오답, ① \(a=1,b=1\)은 \(1-1=0\neq-1\)이라 오답. 보기 ②의 서술은 \(a+b=3\)으로 제시되었으나 정확한 조건은 \(a-b=-1\)입니다.

17 중복조합 정답: ③ 35

중복조합 공식

\({}_n\mathrm{H}_r = \binom{n+r-1}{r}\)

\({}_5\mathrm{H}_3=\binom{5+3-1}{3}=\binom{7}{3}=\frac{7!}{3!\,4!}=35\)

18 벡터 내적 정답: ⑤ −1

\(\vec{a}\cdot\vec{b}=(2)(1)+(1)(-1)+(-1)(2)=2-1-2=-1\)

19 평균값 정리 정답: ② 2/√3

평균값 정리

\(f'(c)=\dfrac{f(2)-f(0)}{2-0}\)

\(f(0)=0,\;f(2)=8-6=2\) → 우변 \(=1\)
\(f'(x)=3x^2-3=1\) → \(3x^2=4\) → \(x^2=\dfrac{4}{3}\) → \(x=\dfrac{2}{\sqrt{3}}\) (\(0<x<2\)이므로 양수)

20 속도·위치 정답: ① 1

\[x(3)=x(0)+\int_0^3(3t^2-6t)dt=1+\Bigl[t^3-3t^2\Bigr]_0^3=1+(27-27)=1\]