수능 수학 킬러문항 20선

수학Ⅰ · 지수·로그·삼각함수

📐

핵심 개념 ① 지수·로그 법칙

지수법칙

\(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\)
\((a^m)^n = a^{mn}\)
\(a^0=1,\ a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}\)

로그 성질

\(\log_a MN = \log_a M + \log_a N\)
\(\log_a \dfrac{M}{N}= \log_a M - \log_a N\)
\(\log_a M^k = k\log_a M\)

밑 변환

\(\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}\)

자주 쓰는 값

\(\log 2 \approx 0.301\)
\(\log 3 \approx 0.477\)
\(\log 7 \approx 0.845\)

⚠ 킬러 포인트

지수방정식은 밑을 통일 후 지수비교. 로그방정식은 진수 조건(진수>0) 반드시 확인. 복합 조건 문제에서 교점 개수는 그래프 개형으로 판단.

예제

\(\log_2(x-1)+\log_2(x+1)=3\) 풀기
→ \(\log_2(x^2-1)=3\) → \(x^2-1=8\) → \(x=3\) (단, \(x>1\)이므로 \(x=3\) ✓)

문제 01

킬러지수·로그

양수 \(a\)에 대하여 함수 \(f(x)=\log_a(x^2-6x+k)\)의 최솟값이 \(1\)이고, 정의역이 실수 전체일 때 상수 \(k\)의 최솟값을 구하시오. (단, \(a>1\))

조건 정리
• \(f(x)\)의 정의역이 실수 전체 → \(x^2-6x+k > 0\) 이 모든 실수에서 성립
• \(f(x)\)의 최솟값이 \(1\) → \(\log_a(\text{최솟값})=1\)

①9

②10

③11

④12

⑤13

문제 02

킬러지수방정식

방정식 \(4^x - 3 \cdot 2^{x+1} + 8 = 0\)의 두 근을 \(\alpha, \beta\)라 할 때, \(\alpha + \beta\)의 값은?

①1

②2

③3

④4

⑤5

수학Ⅰ · 삼각함수

🔺

핵심 개념 ② 삼각함수

기본 공식

\(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\)
\(\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\)
\(1+\tan^2\theta=\sec^2\theta\)

배각·반각

\(\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta\)
\(\cos 2\theta = 1-2\sin^2\theta\)
\(\cos 2\theta = 2\cos^2\theta-1\)

주기

\(y=a\sin(bx+c)+d\)
주기 \(= \dfrac{2\pi}{|b|}\)
진폭 \(= |a|\)

사인법칙

\(\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=2R\)

⚠ 킬러 포인트

삼각함수 그래프 교점 문제에서 주기와 대칭성 활용. 사인·코사인 법칙 복합 문제는 그림을 그려 각을 정확히 표시.

문제 03

킬러삼각함수

\(0 \le x < 2\pi\)에서 방정식 \(2\sin^2 x - \cos 2x = 1\)을 만족시키는 모든 \(x\)의 합은?

①\(2\pi\)

②\(3\pi\)

③\(4\pi\)

④\(5\pi\)

⑤\(6\pi\)

문제 04

킬러삼각함수

삼각형 \(ABC\)에서 \(\sin A : \sin B : \sin C = 3:5:7\)이고 넓이가 \(15\sqrt{3}\)일 때, 가장 긴 변의 길이를 구하시오. (단, 적절한 상수를 이용하라)

①\(5\sqrt{2}\)

②\(6\sqrt{2}\)

③\(7\sqrt{2}\)

④\(7\sqrt{3}\)

⑤\(14\)

수학Ⅰ · 수열

🔢

핵심 개념 ③ 수열

등차수열

\(a_n = a_1+(n-1)d\)
\(S_n = \dfrac{n(a_1+a_n)}{2}\)

등비수열

\(a_n = a_1 \cdot r^{n-1}\)
\(S_n = \dfrac{a_1(r^n-1)}{r-1}\,(r\ne1)\)

점화식 유형

\(a_{n+1}=a_n+f(n)\): 합 공식
\(a_{n+1}=r\cdot a_n\): 등비

시그마

\(\sum_{k=1}^n k = \dfrac{n(n+1)}{2}\)
\(\sum_{k=1}^n k^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)

⚠ 킬러 포인트

군수열: 제\(n\)군의 항 수와 첫째항 파악이 핵심. 분수형 점화식은 역수를 취해 등차수열로 변환.

문제 05

킬러수열

수열 \(\{a_n\}\)이 \(a_1=1\)이고 점화식 \(\dfrac{1}{a_{n+1}} = \dfrac{1}{a_n} + 2\)를 만족할 때, \(a_{10}\)의 값은?

①\(\dfrac{1}{17}\)

②\(\dfrac{1}{18}\)

③\(\dfrac{1}{19}\)

④\(\dfrac{1}{20}\)

⑤\(\dfrac{1}{21}\)

문제 06

킬러군수열

수열 \(1 \;|\; 1,2 \;|\; 1,2,3 \;|\; 1,2,3,4 \;|\; \cdots\)에서 제\(n\)군의 마지막 항이 \(n\)이다. 이 수열의 제 55번째 항의 값은?

①5

②6

③7

④8

⑤9

수학Ⅱ · 극한·연속·다항함수 미분

📈

핵심 개념 ④ 함수의 극한과 연속

극한 기본

\(\lim_{x\to a}f(x)=L\) 이려면
좌극한=우극한=\(L\)

불정형

\(\dfrac{0}{0}\) 꼴: 인수분해
\(\dfrac{\infty}{\infty}\) 꼴: 최고차 나누기

연속 조건

① \(f(a)\) 존재
② \(\lim_{x\to a}f(x)\) 존재
③ 극한값\(=f(a)\)

미분 공식

\((x^n)'=nx^{n-1}\)
\((fg)'=f'g+fg'\)
\(\left(\dfrac{f}{g}\right)'=\dfrac{f'g-fg'}{g^2}\)

⚠ 킬러 포인트

절댓값·최대·최솟값 함수 연속 문제: 구간별로 식을 나눠 좌·우 극한값과 함숫값 비교. 매개변수로 정의된 함수의 연속 조건 처리.

문제 07

킬러함수의 극한

함수 \(f(x) = \begin{cases} x^2+ax+b & (x\ge1) \\ 2x-3 & (x<1) \end{cases}\) 이 \(x=1\)에서 연속이고 미분가능할 때, \(a+b\)의 값은?

①−4

②−3

③−2

④−1

⑤0

문제 08

킬러도함수 활용

삼차함수 \(f(x)=x^3-3x^2+k\)가 극값을 가질 때, 극댓값과 극솟값의 합이 \(0\)이 되도록 하는 \(k\)의 값은?

①1

②2

③3

④4

⑤5

수학Ⅱ · 적분

∫

핵심 개념 ⑤ 정적분

기본 공식

\(\int x^n dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\)
\(\int_a^b f(x)dx = [F(x)]_a^b\)

넓이

두 곡선 사이 넓이
\(S=\int_a^b |f(x)-g(x)|dx\)

대칭 활용

우함수: \(\int_{-a}^a f = 2\int_0^a f\)
기함수: \(\int_{-a}^a f = 0\)

속도·거리

이동 거리 \(=\int_a^b |v(t)|dt\)
위치 변화 \(=\int_a^b v(t)dt\)

문제 09

킬러정적분·넓이

곡선 \(y=x^3-3x\)와 직선 \(y=x\)로 둘러싸인 도형의 넓이는?

①6

②7

③8

④9

⑤10

문제 10

킬러정적분

함수 \(f(x)\)가 \(\int_0^x f(t)\,dt = x^3 - 2x^2 + x\)를 만족할 때, \(f(2)\)의 값은?

①1

②2

③3

④4

⑤5

미적분 · 수열의 극한·미분법·적분법

🌊

핵심 개념 ⑥ 미적분 핵심

수열극한

\(\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}=0\)
\(\lim_{n\to\infty}r^n=0\,(|r|<1)\)

지수·로그미분

\((e^x)'=e^x\)
\((\ln x)'=\dfrac{1}{x}\)
\((a^x)'=a^x\ln a\)

삼각함수 미분

\((\sin x)'=\cos x\)
\((\cos x)'=-\sin x\)
\((\tan x)'=\sec^2 x\)

적분 기법

치환: \(\int f(g(x))g'(x)dx\)
부분: \(\int uv'=uv-\int u'v\)

⚠ 킬러 포인트

합성함수 미분(연쇄법칙), 음함수 미분, 매개변수 미분이 자주 출제. 이상적분과 급수의 합 연결(\(\sum \to \int\)) 문제 주의.

문제 11

킬러수열의 극한

\(\lim_{n\to\infty} \dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\sqrt{\dfrac{k}{n}}\) 의 값은?

①\(\dfrac{1}{3}\)

②\(\dfrac{2}{3}\)

③\(1\)

④\(\dfrac{4}{3}\)

⑤\(\dfrac{5}{3}\)

문제 12

킬러미분법

함수 \(f(x)=e^{2x}\sin x\)에 대하여 \(f'(0)\)의 값은?

①0

②1

③2

④3

⑤4

문제 13

킬러적분법

\(\int_0^{\pi/2} x\cos x\,dx\)의 값은?

①\(\dfrac{\pi}{2}-1\)

②\(\dfrac{\pi}{2}\)

③\(\dfrac{\pi}{2}+1\)

④\(\pi-1\)

⑤\(\pi\)

문제 14

킬러미분 응용

함수 \(f(x)=\ln(x^2+1)\)의 변곡점의 \(x\)좌표를 모두 더한 값은?

①\(-2\)

②\(-1\)

③\(0\)

④\(1\)

⑤\(2\)

확률과 통계

🎲

핵심 개념 ⑦ 확률과 통계

순열·조합

\(_nP_r = \dfrac{n!}{(n-r)!}\)
\(_nC_r = \dfrac{n!}{r!(n-r)!}\)
\(_nH_r = _{n+r-1}C_r\)

확률

\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\)
조건부: \(P(A|B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}\)

이항분포

\(X\sim B(n,p)\)
\(E(X)=np\)
\(V(X)=np(1-p)\)

정규분포

\(X\sim N(\mu,\sigma^2)\)
표준화: \(Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}\)

⚠ 킬러 포인트

중복조합은 칸막이 모델로. 조건부 확률 문제에서 표본공간을 줄이는 습관. 정규분포 신뢰구간: \(\bar{X}\pm z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\)

문제 15

킬러경우의 수

서로 다른 색의 공 5개를 서로 다른 3개의 상자에 넣을 때, 빈 상자가 없도록 넣는 경우의 수는?

①150

②180

③210

④240

⑤270

문제 16

킬러조건부확률

주머니 A에 흰 공 3개, 검은 공 2개가 있고, 주머니 B에 흰 공 2개, 검은 공 3개가 있다. 한 주머니를 임의로 선택해 공 1개를 꺼냈더니 흰 공이었다. 이 공이 A에서 나왔을 확률은?

①\(\dfrac{3}{5}\)

②\(\dfrac{3}{4}\)

③\(\dfrac{2}{3}\)

④\(\dfrac{1}{2}\)

⑤\(\dfrac{4}{7}\)

문제 17

킬러이항분포

확률변수 \(X\)가 이항분포 \(B\!\left(n,\dfrac{1}{3}\right)\)를 따르고 \(V(X)=8\)일 때, \(E(X)\)의 값은?

①6

②8

③10

④12

⑤14

문제 18

킬러정규분포

정규분포 \(N(50,4^2)\)를 따르는 모집단에서 크기 16인 표본을 추출할 때, 표본평균 \(\bar{X}\)에 대하여 \(P(49\le\bar{X}\le51)\)을 구하시오. (단, \(P(0\le Z\le1)=0.3413\), \(P(0\le Z\le0.5)=0.1915\))

①0.3830

②0.6826

③0.5000

④0.9544

⑤0.7745

문제 19

킬러중복조합

방정식 \(x_1+x_2+x_3=8\) (\(x_1,x_2,x_3\)은 음이 아닌 정수)를 만족시키는 해의 수는?

①36

②42

③45

④48

⑤55

문제 20

킬러미적분 종합

함수 \(f(x)=xe^{-x}\)에 대하여 \(f(x)\)의 최댓값을 \(M\), \(f''(x)=0\)을 만족하는 \(x\)의 값을 \(a\)라 할 때, \(M+a\)의 값은?

①\(e^{-1}+1\)

②\(e^{-1}+2\)

③\(2e^{-1}+2\)

④\(e^{-2}+2\)

⑤\(e^{-1}+3\)

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